Question

如圖，在△ABC中，AB⊥BC，SA⊥平面ABC，DE垂直平分SC，且分別交AC、SC于點D、E，又SA=AB，SB=BC，求二面角E-BD-C的大小．

Answer 1

分析：不妨設(shè)AB=

3

=SA，利用已知和勾股定理可得SB=BC=

6

，AC．在Rt△SAC中，可得∠SCA，SC．利用DE垂直平分SC，可得EC，DC．利用余弦定理可得BD，再利用勾股定理的逆定理可得BD⊥DC．利用線面、面面垂直的性質(zhì)定理可得BD⊥平面SAC，因此BD⊥DE．于是得到∠EDC是二面角E-BD-C的平面角．

解答：解：如圖所示．
不妨設(shè)AB=

3

=SA，則SB=BC=

6

．
∵AB⊥BC，∴AC=

AB2+BC2

=3．
∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥AC，∴tan∠SCA=

SA

AC

=

3

3

，∴∠SCA=30°．∴SC=2

3

．
∵DE垂直平分SC，∴EC=

3

，DC=

EC

cos30°

=2．
在Rt△ABC中，cos∠BCD=

BC

AC

=

6

3

．
在△BCD中，由余弦定理可得：BD²=BC²+DC²-2BC•DC•cos∠BCD=(

6

)2+22-2×

6

×2×

6

3

=2，
∴DB²+DC²=6=BC²．
∴∠BDC=90°．
∴BD⊥DC．
∵SA⊥平面ABC，∴平面SAC⊥平面ABC．
∴BD⊥平面SAC，∴BD⊥DE．
∴∠EDC是二面角E-BD-C的平面角，且∠EDC=60°．

點評：熟練掌握線面、面面垂直的性質(zhì)定理、二面角的平面角的定義、勾股定理及其逆定理、余弦定理垂直平分線的性質(zhì)等是解題的關(guān)鍵．