Question

正三角形ABC，點M，N，P分別為AB，BC，AC中點，沿MN，MP，NP折起，使A，B，C三點重合后為Q，則折起后二面角Q-MN-P的余弦值為（　　）

• A．

  1

  3

• B．

  1

  2

• C．

  1

  4

• D．

  2

  3

Answer 1

分析：利用折起后的三棱錐是正四面體的性質、余弦定理及二面角的定義即可得出．

解答：解：如圖所示：折起的三棱錐Q-MNP為正四面體．取MN的中點O，連接QO、OP，則OQ⊥MN，OP⊥MN，
∴∠POQ為二面角Q-MN-P的平面角．
不妨設MN=2，則PQ=2，OP=OQ=

3

．
在△OPQ中，由余弦定理可得：cos∠POQ=

( 3 )2+( 3 )2-22

2× 3 × 3

=

1

3

．
∴折起后二面角Q-MN-P的余弦值為

1

3

．
故選A．

點評：熟練掌握正四面體的性質、余弦定理及二面角的定義是解題的關鍵．