Question

將一個半徑適當的小球放入如圖所示的容器最上方的入口處，小球將自由下落．小球在下落過程中，將3次遇到黑色障礙物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障礙物時向左、右兩邊下落的概率都是

1

2

．
（Ⅰ）求小球落入A袋中的概率P（A）；
（Ⅱ）在容器入口處依次放入4個小球，記X為落入A袋中小球的個數，試求X=3的概率和X的數學期望EX．

Answer 1

分析：（Ⅰ）解法一（利用對立事件的概率）：由于小球落入B袋情況簡單易求，記小球落入B袋中的概率P（B），有P（A）+P（B）=1求P（A），
解法二（直接法）：由于小球每次遇到障礙物時，有一次向左和兩次向右或兩次向左和一次向右下落時小球將落下A袋故有概率的乘法公式求解即可．
（Ⅱ）由題 意知，此問題是一個二項分布的問題，故直接用公式求解即可．

解答：解：（Ⅰ）解法一：記小球落入B袋中的概率P（B），則P（A）+P（B）=1，由于小球每次遇到黑色障礙物時一直向左或者一直向右下落，小球將落入B袋，
所以有P（B）=(

1

2

)3+(

1

2

)3=

1

4

，
∴P（A）=

3

4

解法二：由于小球每次遇到障礙物時，有一次向左和兩次向右或兩次向左和一次向右下落時小球將落下A袋．
∴P（A）=C₃¹(

1

2

)3+C₃²(

1

2

)3=

3

4

（Ⅱ）由題意，X～B（4，

3

4

）
所以有P（X=3）=

C

3 4

(

3

4

)3(

1

4

)1=

27

64

∴EX=4×

3

4

=3

點評：本題 考查利用相互獨立事件的概率乘法公式求概率，以及利用二項分布模型求概率及求期望值．屬于概率中的基本題型．