Question

將一個(gè)半徑適當(dāng)?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器最上方的入口處，小球?qū)⒆杂上侣洌�小球在整個(gè)下落過(guò)程中它將3次遇到黑色障礙物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障礙物時(shí)，向左、右兩邊下落的概率都是

1

2

．
（Ⅰ）求小球落入B袋中的概率P（B）；
（Ⅱ）在容器入口處依次放入2個(gè)小球，記落入A袋中的小球個(gè)數(shù)為ξ，試求ξ的分布列和ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析：（I）小球落入B袋中包含兩種情形當(dāng)且僅當(dāng)小球一直向左落下或一直向右落下時(shí)，然后求出兩種情形的概率和即可；
（II）記“小球落入A袋中”為事件A，“小球落入B袋中”為事件B，則事件A與事件B為對(duì)立事件，從而求出事件A的概率，顯然，ξ的取值為0、1、2，列出分布列，根據(jù)數(shù)學(xué)期望的公式解之即可．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)且僅當(dāng)小球一直向左落下或一直向右落下時(shí)小球才會(huì)落入B袋中，故P(B)=(

1

2

)3+(

1

2

)3=

1

4

．                                     …（5分）
（Ⅱ）記“小球落入A袋中”為事件A，“小球落入B袋中”為事件B，則事件A與事件B為對(duì)立事件，從而P(A)=1-P(B)=1-

1

4

=

3

4

．                     …（8分）
顯然，ξ的取值為0、1、2，且P(ξ=0)=

C

0 2

×(

1

4

)2=

1

16

；P(ξ=1)=

C

1 2

(

3

4

)(

1

4

)=

6

16

；P(ξ=2)=

C

2 2

(

3

4

)2=

9

16

．ξ的分布列為

ξ	0	1	2
p	1 16	6 16	9 16

故Eξ=0×

1

16

+1×

6

16

+2×

9

16

=

3

2

．…（12分）
（或由隨機(jī)變量ξ～B(2，

3

4

)，故Eξ=2×

3

4

=

3

2

．）

點(diǎn)評(píng)：本題考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，是一個(gè)概率的綜合題，解題時(shí)注意兩問(wèn)之間的關(guān)系．