Question

某超市為促銷商品，特舉辦“購物有獎100%中獎”活動．凡消費者在該超市購物滿10元，享受一次搖獎機會，購物滿20元，享受兩次搖獎機會，以此類推．搖獎機的結構如圖所示，將一個半徑適當的小球放入如圖所示的容器最上方的入口處，小球將自由下落、小球在下落的過程中，將3次遇到黑色障礙物，最后落入A袋或B袋中，落入A袋為一等獎，獎金為2元，落入B袋為二等獎，獎金為1元、已知小球每次遇到黑色障礙物時，向左、右兩邊下落的概率都是

1

2

．
（Ⅰ）求搖獎兩次，均獲得一等獎的概率；
（Ⅱ）某消費者購物滿20元，搖獎后所得獎金為X元，試求X的分布列與期望；
（Ⅲ）若超市同時舉行購物八八折讓利于消費者活動（打折后不再享受搖獎），某消費者剛好消費20元，請問他是選擇搖獎還是選擇打折比較劃算．

Answer 1

分析：本題考查的知識點是相互獨立事件的概率乘法公式，離散型隨機變量及其分布列與數學期望，
（1）記“小球落入A袋中”為事件A，“小球落入B袋中”為事件B，則易得P（A）=

1

4

，P（B）=

3

4

，則獲得兩次一等獎的概率P=P（A）•P（A），代入即可得到答案．
（2）消費者購物滿20元，搖獎后所得獎金為X元，X可以取2，3，4，分類討論并計算出P（X=2），P（X=3），P（X=4）的值后，即可得到隨機變量X的分布列，進而求出數學期望．
（3）我們可以分別計算，剛好消費20元時，八八折能節省的錢數，及抽獎能節省的錢數，比較后即可得到答案．

解答：解：記“小球落入A袋中”為事件A，“小球落入B袋中”為事件B，則小球落入A袋中當且僅當小球一直向左落下或一直向右落下，故P(A)=(

1

2

)3+(

1

2

)3=

1

4

，P(B)=1-P(A)=

3

4

.（2分）
（I）獲得兩次一等獎的概率為P=P(A)•P(A)=

1

16

．（4分）
（II）X可以取2，3，4
P（X=2）=(

3

4

)2=

9

16

，
P（X=3）=

C

1 2

1

4

×

3

4

=

6

16

，
P（X=4）=(

1

4

)2=

1

16

.（8分）
分布列為：

所以E（X）=2×

9

16

+3×

6

16

+4×

1

16

=2.5．（10分）
（Ⅲ）參加搖獎，可節省2.5元，打折優惠，可節省2.4元，當然參加搖獎．（12分）

點評：本小題主要考查相互獨立事件概率的計算，運用數學知識解決問題的能力，要想計算一個事件的概率，首先我們要分析這個事件是分類的（分幾類）還是分步的（分幾步），然后再利用加法原理和乘法原理進行求解．對于概率要多練習使用列舉法表示滿足條件的基本事件個數．對于數學期望的計算則要熟練掌握運算方法和步驟．