Question

【題目】設， ．

（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程．

（Ⅱ）求函數的單調區間．

（Ⅲ）求的取值范圍，使得對任意成立．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）y=x﹣1（Ⅱ）1（Ⅲ）0＜a＜e

【解析】

（Ⅰ）求函數的導函數，根據導數定義求得為斜率k，再根據點坐標求得切線方程。

（Ⅱ）根據導函數正負判斷函數單調區間。

（Ⅲ）由不等式，化為關于a的不等式，利用函數關系求得a的取值范圍。

（Ⅰ）∵f（x）=lnx，

∴f′（x）=，f′（1）=，f（1）=0，

∴f（x）=lnx在點（1，f（1））的切線方程為y﹣0=（x﹣1），

即y=x﹣1；

（Ⅱ）g（x）=f（x）+f′（x）=lnx+的定義域為（0，+∞），

g′（x）=﹣=，

故g（x）在（0，1）上是減函數，在（1，+∞）上是增函數；

故gmin（x）=g（1）=0+1=1；

（Ⅲ）g（a）﹣g（x）＜對任意x＞0成立可化為g（a）﹣＜g（x）對任意x＞0成立，

故g（a）﹣＜1；

即lna+﹣＜1，

故lna＜1，

故0＜a＜e．