Question

已知橢圓的中心在坐標原點，一個焦點坐標是F₁（0，-1），離心率為

3

3

．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過點F₁作直線交橢圓于A，B兩點，F₂是橢圓的另一個焦點，若S△ABF2=

8 3

9

時，求直線AB的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的標準方程

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）橢圓的標準方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1，運用幾何性質求解，a，b，c即可得出方程．
（2）化簡方程得：（2k²+3）x²-4kx-4=0，利用弦長公式求解得|AB|=

4 3 (1+k2)

2k2+3

，根據S△ABF2=

8 3

9

，得出

1

2

×

4 3 (1+k2)

2k2+3

×

2

k2+1

=

8 3

9

，求解k的值即可得到直線的方程．

解答： 解：（1）：設橢圓的標準方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1，
∵一個焦點坐標是F₁（0，-1），離心率為

3

3

．
∴c=1，a=

3

∵a²=b²+c²
∴b=

2

∴

y2

3

+

x2

2

=1，
（2）∵F₁（0，-1），F₂是橢圓的另一個焦點（0，1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∴直線AB的方程y=kx-1①，k存在時
①代入

y2

3

+

x2

2

=1化簡得：（2k²+3）x²-4kx-4=0，
x₁+x₂=

4k

2k2+3

，x₁x₂=

-4

2k2+3

，
|AB|=

4 3 (1+k2)

2k2+3

，
∵F₂到直線AB的距離為：

2

k2+1

S△ABF2=

1

2

×

4 3 (1+k2)

2k2+3

×

2

k2+1

=

8 3

9

，
k²=3，即k=±

3

，
∴直線AB的方程y=±

3

x-1，
∵當率不存在時，AB=，x=0，不能構成三角形，∴不符合題意．
故直線AB的方程y=±

3

x-1，

點評：本題綜合考查了橢圓的方程，幾何性質，弦長公式，運算量大，是常規題型，屬于難題．