Question

【題目】已知圓M：及定點(diǎn)，點(diǎn)A是圓M上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B在上，點(diǎn)G在上，且滿(mǎn)足，，點(diǎn)G的軌跡為曲線(xiàn)C.

（1）求曲線(xiàn)C的方程；

（2）設(shè)斜率為k的動(dòng)直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，與直線(xiàn)和分別交于P、Q兩點(diǎn).當(dāng)時(shí)，求（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根據(jù)題意得到GB是線(xiàn)段的中垂線(xiàn)，從而為定值，根據(jù)橢圓定義可知點(diǎn)G的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)的橢圓，即可求出曲線(xiàn)C的方程；（2）聯(lián)立直線(xiàn)方程和橢圓方程，表示處的面積代入韋達(dá)定理化簡(jiǎn)即可求范圍.

（1）為的中點(diǎn)，且是線(xiàn)段的中垂線(xiàn)，

，又，

∴點(diǎn)G的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)的橢圓，

設(shè)橢圓方程為（），

則，，，

所以曲線(xiàn)C的方程為.

（2）設(shè)直線(xiàn)l：（），

由消去y，可得.

因?yàn)橹本�(xiàn)l總與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，

所以，.①

又由可得；同理可得.

由原點(diǎn)O到直線(xiàn)的距離為和，

可得.②

將①代入②得，

當(dāng)時(shí)，，

綜上，面積的取值范圍是.