Question

【題目】如圖，三棱柱中，，底面，分別是棱，，的中點.

（1）證明：平面；

（2）若，求點到平面的距離.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）連接，通過求證四邊形為平行四邊形，得出，再通過中位線關系求證，說明，四點共面，即可求證；

（2）通過作交于點，求證為點到平面的距離即可，再結合幾何關系求解；也可通過轉化法，利用（1）的結論，點到平面的距離等于點到平面的距離，再結合等體積法即可求解；

（1）法一：連，分別是棱的中點，.

又在三棱柱中，，，，四點共面.

分別是棱的中點，∴四邊形為平行四邊形，.

又平面，平面，平面.

法二：

取中點，連接、.分別是棱的中點，

，.在三棱柱中，，，

又平面，平面，平面.

，，∴四邊形為平行四邊形，.

又平面，平面，平面.

，且平面，平面，∴平面平面，

又平面，平面.

（2）法一：

底面，，平面，又，

平面，

又平面，∴平面平面，平面平面.

過點作于，則平面，即為所求點到平面的距離.

在中，.

法二：由（1）知平面，∴點到平面的距離等于點到平面的距離.

由得，得.

故點到平面的距離為.