Question

【題目】設(shè)橢圓的離心率，拋物線的焦點(diǎn)恰好是橢圓的右焦點(diǎn)．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)點(diǎn)作兩條斜率都存在的直線，設(shè)與橢圓交于兩點(diǎn)，與橢圓交于兩點(diǎn)，若是與的等比中項(xiàng)，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）求出拋物線的焦點(diǎn)可得，再根據(jù)離心率求得，從而可得，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）先利用勾股定理證明，可設(shè)直線，直線，分別與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理，兩點(diǎn)間距離公式求得 ，化為，利用基本不等式求解即可.

（1）依題意得橢圓C的右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，即，

又，

所以，，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）因?yàn)?/span>是與的等比中項(xiàng)，

所以，即，

所以直線，

又直線，的斜率均存在，

所以兩直線的斜率都不為零，

故可設(shè)直線，直線，

，，，，

由消去x，得，

所以，

同理得,

所以，

,

,

又，所以

（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），

故的最小值為.