Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=10，a_n+1=9S_n+10．
（1）求證：{lga_n}是等差數列；
（2）設Tn是數列{

3

(lgan)(lgan+1)

}的前n項和，求使Tn＞

1

4

(m2-5m)對所有的n∈N^*都成立的最大正整數m的值．

Answer 1

（1）依題意，a2=9a1+10=100，故

a2

a1

=10，
當n≥2時，a_n=9S_n-1+10①又a_n+1=9S_n+10②
②-①整理得：

an+1

an

=10，故{an}為等比數列，
且a_n=a₁q^n-1=10ⁿ，∴lga_n=n∴lga_n+1-lga_n=（n+1）-n=1，
即{lga_n}n∈N^*是等差數列．
（2）由（1）知，Tn=3(

1

1•2

+

1

2•3

++

1

n(n+1)

)
=3(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

++

1

n

-

1

n+1

)=3-

3

n+1

∴Tn≥

3

2

，
依題意有

3

2

＞

1

4

(m2-5m)，解得-1＜m＜6，
故所求最大正整數m的值為5．