Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且an=Sn•Sn-1(n≥2，Sn≠0)，a1=

2

9

．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{

1

Sn

}為等差數(shù)列；
（Ⅱ）求滿足a_n＜0的自然數(shù)n的集合．

Answer 1

（Ⅰ）證明：∵S_n-S_n-1=a_n，a_n=S_n•S_n-1
∴

1

Sn

-

1

Sn-1

=

Sn-1-Sn

SnSn-1

=-1∵S₁=a₁=

2

9

∴所以數(shù)列{

1

Sn

}是公差為-1，首項(xiàng)為

2

9

的等差數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

1

Sn

=-n+

11

9

=

11-9n

9

∴Sn=

9

11-9n

∴an=Sn•Sn-1=

81

(11-9n)(20-9n)

令a_n＜0，即

81

(11-9n)(20-9n)

＜0
∴

11

9

＜n＜

20

9

∴n=2
∴解集為：{2}