Question

如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為直角梯形，且AD∥BC，∠ABC＝∠PAD＝90°，側面PAD⊥底面ABCD，若PA＝AB＝BC＝，AD＝1.

（I）求證：CD⊥平面PAC；
（II）側棱PA上是否存在點E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出點E的位置，并證明，若不存在，請說明理由.

Answer 1

（I）見解析；（II）存在，證明見解析.

解析試題分析：（I）先根據已知條件證明，那么就有，在根據題中已知邊的長度，由勾股定理證明，根據直線與平面垂直的判定定理即可證明；（II）設的中點為， 連結，，，證明四邊形為平行四邊形，由直線與平面平行的判定定理可知，平面.
試題解析：（I）∵，∴.
又∵，，且，
∴. 
又，∴.                             3分
在底面中，∵，，
∴，有，∴.
又∵， ∴.                     6分
（II）在上存在中點，使得平面，                 8分
證明如下：設的中點為， 連結，，，如圖所示：

則，且.           
由已知，，
∴，且，     10分
∴四邊形為平行四邊形，∴.
∵平面，平面，
∴平面.                                       12分
考點：1、直線與平面垂直的判定定理；2、勾股定理的應用；3、直線與平面平行的判定定理；4、平面與平面垂直的性質定理.