Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，Q為AD的中點．

（1）若PA=PD，求證：平面PQB⊥平面PAD；

（2）若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，點M在線段PC上，且PM=3MC，求三棱錐P﹣QBM的體積．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）

【解析】

試題分析：（1）由PA=PD，得到PQ⊥AD，又底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，得BQ⊥AD，利用線面垂直的判定定理得到AD⊥平面PQB利用面面垂直的判定定理得到平面PQB⊥平面PAD；（2）由平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD，得PQ⊥平面ABCD，BC平面ABCD，得PQ⊥BC，得BC⊥平面PQB，即得到高，利用椎體體積公式求出

試題解析：（1）∵PA=PD，

∴PQ⊥AD，

又∵底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，

∴BQ⊥AD，PQ∩BQ=Q，

∴AD⊥平面PQB

又AD平面PAD，

∴平面PQB⊥平面PAD

（2）∵平面平面，平面平面，，

∴PQ⊥平面，平面，

∴PQ⊥BC

又BC⊥BQ，，

∴平面，

又，

∴