Question

已知正四面體ABCD的棱長為a，E為CD上一點，且CE：ED=2：1，則截面△ABE的面積是（　　）

• A．

  2

  4

  a2
• B．

  2

  2

  a2
• C．

  17

  12

  a2
• D．

  19

  12

  a2

Answer 1

分析：利用正四面體的性質結合余弦定理，求出三角形的底和高即可．

解答：解：∵CD=a，CE：ED=2：1，
∴CE=

2a

3

，ED=

a

3

，
∴在正三角形ACD中，由余弦定理可知：
AE²=AC²+CE²-2AC•CE•cos∠ACD a2+(

2a

3

)2-2a?

2a

3

?

1

2

=

7

9

a2，
∵三角形BCD和三角形ACD都是正三角形 
∴BE=AE，
∴△ABE是等腰三角形 
∴在等腰△EAB中，
EF2=AE2-AF2=

7

9

a2-(

a

2

)2=

19

36

a2，
∴S△ABE=

1

2

AB?EF=

1

2

a?

19 36 a2

=

19

12

a2．
故選D．

點評：本題主要考查正四面體的應用，以及三角形的面積公式，考查學生的運算能力和分析能力．