Question

已知正四面體ABCD的棱長為1，若以

AB

的方向為左視方向，則該正四面體的左視圖與俯視圖面積和的取值范圍為

 

．

Answer 1

分析：由題意求出左視圖的面積，然后確定俯視圖面積的指正的范圍，即可得到該正四面體的左視圖與俯視圖面積和的取值范圍．

解答：解：正四面體ABCD的棱長為1，若以

AB

的方向為左視方向，所以左視圖為等腰三角形，邊長為

3

2

，

3

2

，1，
面積為

1

2

×1×

( 3 2 )2-( 1 2 )2

=

2

4

，
俯視圖面積最小值為等腰三角形，邊長為

3

2

，

3

2

，1，面積為

1

2

×1×

( 3 2 )2-( 1 2 )2

=

2

4

，
俯視圖為對角線是1的正方形時面積最大，面積的最大值為：

1

2

×1×1=

1

2

，
所以該正四面體的左視圖與俯視圖面積和的取值范圍為：[

2

2

，

2 +2

4

]．
故答案為：[

2

2

，

2 +2

4

]．

點評：本題是中檔題，考查幾何體的三視圖的畫法，空間想象能力，邏輯思維能力和計算能力，找出俯視圖的最小值與最大值是解題的關鍵．