Question

已知正四面體ABCD的表面積為S，其四個面的中心分別為E、F、G、H．設四面體EFGH的表面積為T，則

T

S

等于（　　）

• A、

  1

  9

• B、

  4

  9

• C、

  1

  4

• D、

  1

  3

Answer 1

分析：因為正四面體四個面都是正△，其中心到頂點的距離等于到對邊距離的一半，通過作出輔助線，可得兩四面體的邊長比，由面積比是邊長比的平方，可得出答案．

解答：解：如圖所示，正四面體ABCD四個面的中心分別為E、F、G、H，
∴四面體EFGH也是正四面體．
連接AE并延長與CD交于點M，
連接AG并延長與BC交于點N．
∵E、G分別為面的中心，
∴

AE

AM

=

AG

AN

=

2

3

．∴

GE

MN

=

2

3

．
又∵MN=

1

2

BD，∴

GE

BD

=

1

3

．
∵面積比是相似比的平方，∴兩四面體的面積比為；

T

S

=

1

9

．
故答案為：A

點評：本題考查了多面體的面積比是邊長比的平方，本題關鍵是求邊長比是多少；類似的有體積比是邊長比的立方，三角形的高，中線，角平分線的比等于邊長的比．