Question

【題目】選修4-4：坐標系與參數方程

在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），是上的動點，點滿足，點的軌跡為曲線.

（Ⅰ）求的普通方程；

（Ⅱ）在以為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標系中，直線與交于，兩點，交軸于點，求的值.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

(I)設出點的坐標，根據兩個向量相等的坐標表示，求得點的坐標，消去參數后得到的普通方程.（II）方法一：先求得直線的直角坐標方程，聯立直線的方程和的方程，求得交點的坐標，利用兩點間的距離公式求得的長，進而求得的值.方法二：先求出直線的參數方程，將參數方程代入的方程，利用直線參數的幾何意義，求得的值.

（Ⅰ）設，.

∵∴，消去得的普通方程為.

（Ⅱ）法一：直線的極坐標方程，即.

∵，，得直線的直角坐標方程為.

∴，由得，∴，.

∴，，∴.

法二：直線的極坐標方程，即.

∵，，得直線的直角坐標方程為.

∴.∵直線的傾斜角為，

∴可得直線的參數方程為（為參數）.

代入，得，設此方程的兩個根為，，則.

∴.