Question

【題目】已知定義在R上的函數，為常數，且是函數的一個極值點．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若函數，，求的單調區間；

（Ⅲ） 過點可作曲線的三條切線，求的取值范圍

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）函數的單調增區間為和，單調減區間為；(Ⅲ)．

【解析】

（I）由求得值，同時要檢驗此時是極值點；

（II）求出，由的正負得函數的單調區間，即由得增區間，由得減區間

（III）設切點為，則切線的斜率為，整理得，此方程有3個根. 為此設，則的極大值大于0，極小值小于0，由此可得的范圍．

（Ⅰ），是函數的一個極值點，則

又，函數在兩側的導數異號，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

則，令，得.

隨的變化，與的變化如下：

		0		0
		極大值		極小值

所以函數的單調增區間為和，單調減區間為．

(Ⅲ),設切點為，則切線的斜率為

，

整理得，依題意，方程有3個根.

設，則

令，得，則在區間，上單調遞增，在區間上單調遞減，

因此，解得.所以的取值范圍為