Question

【題目】已知數列中，已知，對任意都成立，數列的前n項和為．

（1）若是等差數列，求k的值；

（2）若，，求；

（3）是否存在實數k，使數列是公比不為1的等比數列，且任意相鄰三項，，按某順序排列后成等差數列？若存在，求出所有k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2），（3）存在實數k滿足題意，

【解析】

（1）由等差數列可得,即,進而得到；

（2）將代回可得,進而得到,然后分為奇數與偶數求得即可；

（3）由等比數列可得,分別令,,為等差中項求得,進而求出即可

解：（1）若是等差數列,則對任意,,即,

所以,故

（2）當時,,即,

所以,故,

所以,當n是偶數時,

,

當n是奇數時,,

,

綜上,,

（3）存在,,

設是等比數列,則公比,由題意,

所以,,,

①若為等差中項,則,即,即,

解得,不符合題意；

②若為等差中項,則,即,即,

解得或（舍）,所以；

③若為等差中項,則,即,即，

解得或（舍）,所以；

綜上,存在實數k滿足題意,