Question

△ABC的三邊長分別是3，4，5，P為△ABC所在平面α外一點，它到三邊的距離都是2，則P到α的距離為

3

．

Answer 1

分析：作PO⊥△ABC所在平面α于O，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F．則OD=OE=OF，推導出O是RT△ABC的內切圓圓心，D，E，F是切點，半徑r=OD=OE=OF=1，由此能求出P到α的距離．

解答：解：作PO⊥△ABC所在平面α于O，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F．
則OD=OE=OF （三角形全等），
∵AB⊥PD，AB⊥PO，PD∩PO=P，
∴AB⊥面POD，
∴AB⊥OD，
同理BC⊥OE，AC⊥OF．
即O是RT△ABC的內切圓圓心，
D，E，F是切點．半徑r=OD=OE=OF，
AF=AD=AB-BD=4-r，
CF=CE=CB-BE=3-r，
AC=AF+CF=4-r+3-r=5，
r=OD=OE=OF=1，
∴PO=

3

．
故答案為：

3

．

點評：本題考查點到平面的距離的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地化空間幾何問題為平面幾何問題．