Question

（09年棗莊一模理）（12分）

       如圖，已知三棱柱ABC―A₁B₁C₁的側棱與底面垂直，AA₁=AB=AC=1，，M是CC₁的中點，N是BC的中點，點P在A₁B₁上，且滿足

   （I）證明：

   （II）當取何值時，直線PN與平面ABC所成的角最大？并求該角最大值的正切值；

   （II）若平面PMN與平面ABC所成的二面角為45°，試確定點P的位置。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

解析：（I）如圖，以AB，AC，AA₁分別為軸，建立空間直角坐標系

                                      

則   2分

       從而

      

       所以   3分

   （II）平面ABC的一個法向量為

       則

       （※）   5分

       而

       由（※）式，當   6分

   （III）平面ABC的一個法向量為

       設平面PMN的一個法向量為

       由（I）得

       由   7分

       解得   9分

       平面PMN與平面ABC所成的二面角為45°，

      

       解得   11分

       故點P在B₁A₁的延長線上，且   12分