Question

已知各項均為正數的數列{a_n}前n項和為S_n，首項為2，且2，a_n，S_n成等差數列．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若b_n=na_n，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可得，2a_n=2+S_n，結合2a_n-1=2+S_n-1（n≥2）可得數列a_n與a_n-1的關系，結合特殊數列的通項公式可求；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得b_n，利用錯位相減法可求得T_n．

解答：解：（Ⅰ）由題意知2a_n=s_n+2，且a_n＞0，a₁=2，
當n≥2時，s_n=2a_n-2，s_n-1=2a_n-1-2，
兩式相減得，a_n=2a_n-2a_n-1，整理得：

an

an-1

=2，
∴數列{a_n}是以2為首項，2為公比的等比數列．
∴an=a1•2n-1=2×2n-1=2n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an=2n，∴b_n=n2ⁿ，
Tn=2+2•22+3•23+…+n•2n，①
2T_n=2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，②
①-②得，-Tn=2+22+32+…+2n-n•2n+1，
∴-Tn=2n+1-2-n•2n+1，
∴Tn=(n-1)•2n+1+2．

點評：本題主要考查利用遞推式求數列的通項公式，考查錯位相減法對數列求和，錯位相減法是高考考查重點，要熟練掌握．