分析：（Ⅰ）由a
n+12=2a
n2+a
na
n+1，移項分角因式得（a
n+1+a
n）（2a
n-a
n+1）=0，得2a
n=a
n+1，得出數列{a
n}是公比為2的等比數列，由a
2+a
4=2a
3+4得a
1=2，
用等比數列的通項公式得出數列{a
n}的通項公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得b
n=a
n2=2
2n=4
n，得數列{b
n}是首項為4，公比是4的等比數列，由等比數列的前n項和求出T
n，進一步表示出
與
，兩者作差，不能判號的那部分用數學歸納法來證：第一步，n=1時，不等式成立，第二步，假設n=k時，結論成立，下面證明n=k+1時也成立．
解答：解：（Ⅰ）因為a
n+12=2a
n2+a
na
n+1，即（a
n+1+a
n）（2a
n-a
n+1）=0
又a
n＞0，所以有2a
n-a
n+1=0，所以2a
n=a
n+1所以數列{a
n}是公比為2的等比數列（2分）
由a
2+a
4=2a
3+4得2a
1+8a
1=8a
1+4，解得a
1=2
故數列{a
n}的通項公式為a
n=2
n（n∈N
*）（4分）
（Ⅱ）因b
n=a
n2=2
2n=4
n，所以b
1=4，
=4
即數列{b
n}是首項為4，公比是4的等比數列
所以T
n=
（4
n-1）（6分）
則
=
=1+
又
==1+-=-=
| 4(3n+1-7•4n-1) |
| (4n-1)(4n-1) |
猜想：7•4
n-1＞3n+1（8分）
①當n=1時，7•4
0=7＞3×1+1=4，上面不等式顯然成立；
②假設當n=k時，不等式7•4
k-1＞3k+1成立（9分）
當n=k+1時，
7×4
k=4×7×4
k-1＞4（3k+1）=12k+4＞3k+4=3（k+1）+1
綜上①②對任意的n∈N
+均有7•4
n-1＞3n+1（11分）
又4
n-1＞0，4n-1＞0
∴
-＜0所以對任意的n∈N
+均有
＜（12分）
點評：本題難點之一是求數{an}的通項公式時，要把題干中的等式變形得到相鄰兩項的關系；難點之二在于要計算出兩個復雜的式子，在學生的計算能力越來越弱的情況下，這個實屬不易；難點之三在于作差比較大小，得出的結果不能判別符號，不少學生在此會放棄；難點之四在于要想到用數學歸納法來證明差中的一部分．
與
的大小，并加以證明．
與
的大小，并加以證明．
與
的大小，并加以證明．