Question

已知各項均為正數的數列{a_n}滿足a_n+1²=2a_n²+a_na_n+1，a₂+a₄=2a₃+4，其中n∈N^*．
（Ⅰ）求數{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設數{b_n}的前n項和T_n，令b_n=a_n²，其中n∈N^*，試比較與的大小，并加以證明．

Answer 1

解：（Ⅰ）因為a_n+1²=2a_n²+a_na_n+1，即（a_n+1+a_n）（2a_n-a_n+1）=0
又a_n＞0，所以有2a_n-a_n+1=0，所以2a_n=a_n+1
所以數列{a_n}是公比為2的等比數列（2分）
由a₂+a₄=2a₃+4得2a₁+8a₁=8a₁+4，解得a₁=2
故數列{a_n}的通項公式為a_n=2ⁿ（n∈N^*）（4分）
（Ⅱ）因b_n=a_n²=2²ⁿ=4ⁿ，所以b₁=4，=4
即數列{b_n}是首項為4，公比是4的等比數列
所以T_n=（4ⁿ-1）（6分）
則==1+
又
=
猜想：7•4^n-1＞3n+1（8分）
①當n=1時，7•4⁰=7＞3×1+1=4，上面不等式顯然成立；
②假設當n=k時，不等式7•4^k-1＞3k+1成立（9分）
當n=k+1時，
7×4^k=4×7×4^k-1＞4（3k+1）=12k+4＞3k+4=3（k+1）+1
綜上①②對任意的n∈N⁺均有7•4^n-1＞3n+1（11分）
又4ⁿ-1＞0，4n-1＞0
∴
所以對任意的n∈N⁺均有（12分）
分析：（Ⅰ）由a_n+1²=2a_n²+a_na_n+1，移項分角因式得（a_n+1+a_n）（2a_n-a_n+1）=0，得2a_n=a_n+1，得出數列{a_n}是公比為2的等比數列，由a₂+a₄=2a₃+4得a₁=2，
用等比數列的通項公式得出數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得b_n=a_n²=2²ⁿ=4ⁿ，得數列{b_n}是首項為4，公比是4的等比數列，由等比數列的前n項和求出T_n，進一步表示出與，兩者作差，不能判號的那部分用數學歸納法來證：第一步，n=1時，不等式成立，第二步，假設n=k時，結論成立，下面證明n=k+1時也成立．
點評：本題難點之一是求數{a_n}的通項公式時，要把題干中的等式變形得到相鄰兩項的關系；難點之二在于要計算出兩個復雜的式子，在學生的計算能力越來越弱的情況下，這個實屬不易；難點之三在于作差比較大小，得出的結果不能判別符號，不少學生在此會放棄；難點之四在于要想到用數學歸納法來證明差中的一部分．