Question

【題目】在即將進入休漁期時，某小微企業決定囤積一些冰鮮產品，銷售所囤積產品的凈利潤f(x)萬元與投入x萬元之間近似滿足函數關系：，若投入2萬元，可得到凈利潤為5.2萬元．

(1)試求該小微企業投入多少萬元時，獲得的凈利潤最大；

(2)請判斷該小微企業是否會虧本，若虧本，求出投入資金的范圍，若不虧本，請說明理由．(參考數據：ln 2≈0.7，ln 15≈2.7)

Answer 1

【答案】（1）8；（2）

【解析】

（1）由題意可得f（2）=5.2，解得a=-4，討論2≤x≤15時，求得導數和單調區間、極值和最值；由0＜x＜2時，f（x）的單調性可得f（x）的最大值；
（2）討論0＜x＜2時，f（x）＜0的x的范圍，由f（x）在[2，15]的端點的函數值，可得f（x）＞0，即可判斷企業虧本的x的范圍．

(1)由題意可知，當x＝2時，f(2)＝5.2，即有aln 2－×22＋×2＝5.2，解得a≈－4.則f(x)＝當2≤x≤15時，f′(x)＝－－x＋＝－.當2＜x＜8時，f′(x)＞0，f(x)單調遞增；當8＜x＜15時，f′(x)＜0，f(x)單調遞減．故當2≤x≤15時，f(x)max＝f(8)＝－4ln 8－16＋36≈11.6.當0＜x＜2時，f′(x)＝4x－2ln 2≈4x－1.4，令f′(x)＝0，得x＝0.35，當x∈(0，0.35)時，f′(x)<0，當x∈(0.35，2)時，f′(x)>0.所以易知f(x)＜2×4－(2ln 2)×2≈5.2.故該小微企業投入8萬元時，獲得的凈利潤最大．

(2)當0＜x＜2時，2x2－(2ln 2)x＜0，解得0＜x＜ln 2，即當0<x<ln 2時，該企業虧本；當2≤x≤15時，f(2)≈5.2，f(15)＝－4ln 15－×152＋×15≈0.45＞0，則f(x)min＝f(15)≈0.45＞0.綜上可得，當0＜x＜ln 2，即0＜x＜0.7時，該企業虧本．