Question

【題目】已知橢圓的對稱中心為原點，焦點在軸上，焦距為，點在該橢圓上．

（1）求橢圓的方程；

（2）直線與橢圓交于兩點，點位于第一象限，是橢圓上位于直線兩側的動點．當點運動時，滿足，問直線的斜率是否為定值，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由題可得， 所以 ，則橢圓的方程為

（2）將代入橢圓方程可得，解得 ，則 ，由題可知直線與直線的斜率互為相反數，寫出直線的方程與橢圓方程聯立整理可得。

（1）因為橢圓的對稱中心為原點，焦點在軸上，

所以設橢圓方程為

因為焦距為，

所以 ，焦點坐標 ，

又因為點在該橢圓上，代入橢圓方程得

所以 ，即

解得

所以

則橢圓的方程為.

（2）將代入橢圓方程可得，解得

則

當點運動時，滿足，則直線與直線的斜率互為相反數，

不妨設，則，

所以直線的方程為，

聯立 ，解得

因為是該方程的兩根，

所以，即，

同理直線的方程為且

所以

所以 ，

即直線的斜率為定值。