Question

【題目】已知函數．

（1）討論f（x）的單調性；

（2）證明：當﹣1＜a＜0時，f（x）存在唯一的零點x0，且x0隨著a的增大而增大．

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具體見解析（2）證明見解析

【解析】

（1）先求得函數的定義域，求得函數的導函數，對分成等四種情況進行分類討論，由此求得的單調區間.

（2）時，由（1）得到的單調性，結合零點存在性定理判斷出存在唯一零點.令，由此對分離常數，利用導數證得隨增大而增大.

（1）f（x）的定義域為（0，+∞）；

；

①當a＝0時，，則f（x）在（0，+∞）上單調遞減；

②當a＞0時，，而；

則f（x）在上單調遞減，在上單調遞增；

③當﹣1≤a＜0時，f′（x）＜0，則f（x）在（0，+∞）上單調遞減；

④當a＜﹣1時，f（x）在上單調遞增，在上單調遞減；

綜上，當a＜﹣1時，f（x）在上單調遞增，在上單調遞減；

當﹣1≤a≤0時，f′（x）＜0，則f（x）在（0，+∞）上單調遞減；

當a＞0時，f（x）在上單調遞減，在上單調遞增；

（2）由（1）得當﹣1＜a＜0時，f（x）在（0，+∞）上單調遞減；

∴f（x）至多有一個零點；

又﹣1＜a＜0；

∴，f（1）＝a+1＞0，；

令g（x）＝x﹣1﹣lnx，則；

∴g（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增；

g（x）≥g（1）＝0，即x﹣1﹣lnx≥0，當且僅當x＝1時取等號；

∴；

∴f（x）存在唯一得零點；

由f（x0）＝0，得，即；

∵x0∈（1，+∞），；

∴，即a是x0的函數；

設，x∈（1，+∞），則；

∴h（x）為（1，+∞）上的增函數；

∴隨增大而增大，反之亦成立.

∴x0隨著a的增大而增大．