Question

【題目】已知函數.

(1)若函數在上是減函數，求實數的取值范圍；

(2)若函數在上存在兩個極值點，且，證明： .

Answer 1

【答案】(1) ；(2)證明見解析.

【解析】試題分析：（1）由條件可知恒成立，通過參變分離的方法得到恒成立，即 轉化為利用導數求函數的最大值，即求的取值范圍；（2）根據條件可知， 和 ，經過變形整理為 ，經過換元，可將問題轉化為證明 ，利用導數求函數的最小值，即可證明.

試題解析：(1)由函數在上是減函數，知恒成立，

.

由恒成立可知恒成立，則，

設，則，

由， 知，

函數在上遞增，在上遞減，∴，

∴.

(2)由(1)知.

由函數在上存在兩個極值點，且，知，

則且，

聯立得，即，

設，則，

要證，

只需證，只需證，只需證.

構造函數，則.

故在上遞增， ，即，

所以.