Question

【題目】平面直角坐標系中，已知橢圓（）的左焦點為，離心率為，過點且垂直于長軸的弦長為．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若過點的直線與橢圓相交于不同兩點、，求面積的最大值．

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】試題分析：（1）運用橢圓的離心率公式和過焦點垂直于對稱軸的弦長，結合 的關系列出關于 、 、的方程組，求出 、，可得橢圓的方程；（2）討論直線的斜率為和不為，設方程為，代入橢圓方程，運用韋達定理與弦長公式求得弦長，求出點到直線的距離運用三角形的面積公式，化簡整理，運用換元法和基本不等式，即可得到面積的最大值.

試題解析：（1）由題意可得， 令，可得，即有，

又，所以，．

所以橢圓的標準方程為；

（2）設，，直線方程為，

代入橢圓方程，整理得，

則，所以．

∴

當且僅當，即．（此時適合的條件）取得等號．

則面積的最大值是．

【方法點晴】本題主要考查待定系數法求橢圓方程及圓錐曲線求最值，屬于難題.解決圓錐曲線中的最值問題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關結論來解決，非常巧妙；二是將圓錐曲線中最值問題轉化為函數問題，然后根據函數的特征選用參數法、配方法、判別式法、三角函數有界法、函數單調性法以及均值不等式法，本題（2）就是用的這種思路，利用均值不等式法求三角形最值的.