Question

定義區間（m，n），[m，n]，（m，n]，[m，n）的長度均為n-m，其中n＞m．
（1）若關于x的不等式2ax²-12x-3＞0的解集構成的區間的長度為，求實數a的值；
（2）求關于x的不等式，x∈[0，2π]的解集構成的各區間的長度和；
（3）已知關于x的不等式組的解集構成的各區間長度和為6，求實數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）觀察二次項的系數帶有字母，需要先對字母進行討論，當a等于0時，看出合不合題意，a≠0時，方程2ax²-12x-3=0的兩根設為x₁、x₂，根據根與系數之間的關系，寫出兩根的和與積，表示出區間長度，得到結果．
（2）根據所給的三角函數式，利用二倍角公式進行化簡求值，根據三角函數的圖象寫出不等式成立的條件，寫出在規定范圍中的解集．
（3）先解關于x的不等式組，解出兩個不等式的解集，求兩個不等式的解集的交集，A∩B⊆（0，6），不等式組的解集的各區間長度和為6，寫出不等式組進行討論，得到結果．
解答：解：（1）a=0時不合題意；                                      （1分）
a≠0時，方程2ax²-12x-3=0的兩根設為x₁、x₂，則，，
由題意知，（2分）
解得a=-2或a=3（舍），（3分）
所以a=-2．                                                    （4分）
（2）因為==，
原不等式即為，x∈[0，2π]（6分）
不等式的解集為，（7分）
所以原不等式的解集為（8分）
各區間的長度和為（9分）
（3）先解不等式，整理得，即x（x-6）＜0
所以不等式的解集A=（0，6）（10分）
設不等式log₂x+log₂（tx+3t）＜2的解集為B，不等式組的解集為A∩B
不等式log₂x+log₂（tx+3t）＞2等價于（11分）
又A∩B⊆（0，6），不等式組的解集的各區間長度和為6，所以不等式組，
當x∈（0，6）時，恒成立                                                 （12分）
當x∈（0，6）時，不等式tx+3t＞0恒成立，得t＞0（13分）
當x∈（0，6）時，不等式tx²+3tx-4＜0恒成立，即恒成立        （14分）
當x∈（0，6）時，的取值范圍為，所以實數（15分）
綜上所述，t的取值范圍為（16分）
點評：本題考查一個新定義問題，即區間的長度，本題解題的關鍵是對于條件中所給的三種不同的題目進行整理變化，注意恒成立問題，這是高考題目中必出的．