Question

（2009•上海模擬）定義區間（m，n），[m，n]，（m，n]，[m，n）的長度均為n-m，其中n＞m．
（1）若關于x的不等式2ax²-12x-3＞0的解集構成的區間的長度為

6

，求實數a的值；
（2）已知關于x的不等式sinxcosx+

3

cos2x+b＞0，x∈[0，π]的解集構成的各區間的長度和超過

π

3

，求實數b的取值范圍；
（3）已知關于x的不等式組

7 x+1 ＞1  log2x+log2(tx+3t)＜2

的解集構成的各區間長度和為6，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先對a等于0和不等于0分開討論，再根據一元二次不等式的解集由開口方向和對應方程的根二者決定即可求出實數a的值；
（2）先對原不等式進行化簡，把問題轉化為“f(x)＞-

3

2

-b，x∈[0，π]”，再根據函數f（x）的最小正周期為π，[0，π]的長度恰為函數的一個正周期，結合所問問題即可得到結論．
（3）先求出不等式

7

x+1

＞1的解集，根據其結論以及不等式組

7 x+1 ＞1  log2x+log2(tx+3t)＜2

的解集構成的各區間長度和為6把問題轉化為不等式組

tx+3t＞0 tx2+3tx-4＜0

，當x∈（0，6）時，恒成立；再分別求出對應的實數t的取值范圍即可得出結論．

解答：解：（1）a=0時不合題意；
a≠0時，方程2ax²-12x-3=0的兩根設為x₁、x₂，
則x1+x2=

6

a

，x1x2=-

3

2a

，
由題意知6=|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2=

36

a2

+

6

a

，
解得a=-2或a=3（舍），所以a=-2．
（2）因為sinxcosx+

3

cos2x+b
=

1

2

sin2x+

3

2

(1+cos2x)+b=sin(2x+

π

3

)+

3

2

+b，
設f(x)=sin(2x+

π

3

)，原不等式等價于“f(x)＞-

3

2

-b，x∈[0，π]”，
因為函數f（x）的最小正周期為π，[0，π]的長度恰為函數的一個正周期，
所以當-

3

2

-b＜

1

2

時，f(x)＞-

3

2

-b，x∈[0，π]的解集構成的各區間的長度和超過

π

3

，
即b的取值范圍為(-

1+ 3

2

，+∞)．
（3）先解不等式

7

x+1

＞1，整理得

-x+6

x+1

＞0，
即（x+1）（x-6）＜0
所以不等式

7

x+1

＞1的解集A=（-1，6）
設不等式log₂x+log₂（tx+3t）＜2的解集為B，不等式組的解集為A∩B
不等式log₂x+log₂（tx+3t）＞2等價于

x＞0 tx+3t＞0 tx2+3tx-4＜0

所以B⊆（0，+∞），A∩B⊆（0，6），不等式組的解集的各區間長度和為6，
所以不等式組

tx+3t＞0 tx2+3tx-4＜0

，當x∈（0，6）時，恒成立
當x∈（0，6）時，不等式tx+3t＞0恒成立，得t＞0
當x∈（0，6）時，不等式tx²+3tx-4＜0恒成立，即t＜

4

x2+3x

恒成立
當x∈（0，6）時，

4

x2+3x

的取值范圍為(

2

27

，+∞)，所以實數t≤

2

27

綜上所述，t的取值范圍為(0，

2

27

]

點評：本題主要考查不等式的解法．其中第一問涉及到一元二次不等式的解法，一元二次不等式的解集由開口方向和對應方程的根二者決定．開口向上大于0的解集在兩根的兩邊，小于0的解集在兩根中間；開口向下大于0的解集在兩根的中間，小于0的解集在兩根兩邊．