Question

定義區間（m，n），[m，n]，（m，n]，[m，n）的長度均為n-m，其中n＞m．
（1）若關于x的不等式2ax²-12x-3＞0的解集構成的區間的長度為

6

，求實數a的值；
（2）已知A={x|

7

x+1

＞1}，B={x|

x＞0 tx+3t＞0 tx2+3tx-4＜0

，若A∩B構成的各區間長度和為6，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當a=0時，不符合題意．當a≠0時，由題意關于x的方程2ax²-12x-3=0的兩根設為x₁、x₂，滿足|x1-x2| =

6

，利用根與系數關系進行配方，列出關于a的方程，再結合根的判別式解之，即可得到實數a的值；
（2）先解分式不等式，得不等式

7

x+1

＞1的解集A=（-1，6），再結合集合B的不等式組，得當x∈（0，6）時不等式組

tx+3t＞0 tx2+3tx-4＜0

恒成立．最后討論一元一次不等式tx+3t＞0和一元二次不等式tx²+3tx-4＜0在（0，6）都恒成立，即可得到實數t的取值范圍．

解答：解：（1）當a=0時，不等式為-12x-3＞0，顯然不符合合題意；--------（1分）
當a≠0時，方程2ax²-12x-3=0的兩根設為x₁、x₂，
則△=144+24a＞0且a＜0，得-6＜a＜0
∵x1+x2=

6

a

，x1x2=-

3

2a

，（3分）
∴6=|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2=

36

a2

+

6

a

，得a=-2或a=3（舍），所以a=-2．（6分）
（2）先解不等式

7

x+1

＞1，整理得

-x+6

x+1

＞0，即（x+1）（x-6）＜0，
所以不等式

7

x+1

＞1的解集A=（-1，6），--------------------------------------------（8分）
又∵B⊆（0，+∞），A∩B⊆（0，6），-------------（10分），
∴不等式組的解集各區間長度和為6，所以當x∈（0，6）時恒成立．
當x∈（0，6）時，不等式tx+3t＞0恒成立，得t＞0；-----------------（12分）
當x∈（0，6）時，不等式tx²+3tx-4＜0恒成立，即t＜

4

x2+3x

恒成立，
而x∈（0，6）時，

4

x2+3x

的取值范圍為(

2

27

，+∞)，所以實數t≤

2

27

；--------（15分）
綜上所述，t的取值范圍為(0，

2

27

]-------------（16分）

點評：本題給出區間長度的定義，要求我們根據這個定義討論不等式組的解集．著重考查了一元二次不等式的解法和含有參數的不等式恒成立的討論等知識，屬于中檔題．