Question

已知函數.
（1）當時，求曲線在點的切線方程；
（2）對一切,恒成立,求實數的取值范圍；
（3）當時，試討論在內的極值點的個數.

Answer 1

(1) ；(2)實數的取值范圍為；
(3)當，在內的極值點的個數為1；當時, 在
內的極值點的個數為0.

試題分析：(1)切點的導函數值，等于過這點的切線的斜率，由直線方程的點斜式即得所求.
(2)由題意:,轉化成，只需確定的最大值.
設,利用導數研究其最大值.
(3)極值點處的導函數值為零.
問題可轉化成研究在內零點的個數.
注意到， ，因此，討論，時，在內零點的個數，使問題得解.
本題主要考查導數的應用，方法比較明確，分類討論、轉化與化歸思想的應用，是解決問題的關鍵.
試題解析：(1) 由題意知,所以
又，
所以曲線在點的切線方程為         4分
(2)由題意:,即
設,則
當時,；當時,
所以當時，取得最大值
故實數的取值范圍為.                       9分
(3) ，， 
①當時, ∵
∴存在使得 
因為開口向上，所以在內,在內
即在內是增函數, 在內是減函數
故時，在內有且只有一個極值點, 且是極大值點.       11分
②當時,因
又因為開口向上
所以在內則在內為減函數，故沒有極值點    13分
綜上可知：當，在內的極值點的個數為1；當時, 在
內的極值點的個數為0.                       14分