Question

已知函數，（為常數），直線與函數、的圖象都相切，且與函數圖象的切點的橫坐標為．
（1）求直線的方程及的值；
（2）若 [注：是的導函數]，求函數的單調遞增區間；
（3）當時，試討論方程的解的個數．

Answer 1

(1)  ;  ;(2) ， ;(3)詳見解析.

試題分析：(1)利用函數在處的導數，等于在處切線的斜率，所以先求,再求,直線的斜率就是,直線過點,代入得到直線的方程，直線與的圖象相切，所以代入聯立,得到值；（2）先求, 得到,再求,令,得到的取值范圍，即求得函數的單調遞增區間；（3）令，，再求,得到極值點，然后列表分析當變化時，，的變化情況，結合為偶函數，畫出的函數圖形，再畫,當直線上下變化時，可以看出交點的變化，根據交點的不同，從而確定，再不同的范圍下得到不同的交點個數.此問注意分類討論思想的使用，不要遺漏情況．屬于較難習題．
試題解析：（1）解：由，
故直線的斜率為，切點為，，即，，
所以直線的方程為．　　　　　　　　　　　　　　　　     3分
直線與的圖象相切，等價于方程組只有一解，
即方程有兩個相等實根，
所以令，解得.             5分
（2）因為，
由，
令，所以，
所以函數的單調遞增區間是，.          8分
（3）令，，
由，令，得，，，         10分
當變化時，，的變化情況如下表：

	，		，		，		，
	+		－		+		－
		極大值		極小值		極大值

又為偶函數， 所以函數的圖象如圖：

當，時，方程無解；
當或，時，方程有兩解；
當時，方程有三解；
當，時，方程有四解．　           14分