Question

已知函數f(x)＝ax＋ln x，其中a為常數，e為自然對數的底數．
(1)當a＝－1時，求f(x)的最大值；
(2)當a＝－1時，試推斷方程|f(x)|＝＋是否有實數解，并說明理由．

Answer 1

(1) －1   (2) 沒有，理由見解析

解：(1)當a＝－1時，f(x)＝－x＋ln x，
f′(x)＝－1＋＝.
當0<x<1時，f′(x)>0；
當x>1時，f′(x)<0.
∴f(x)在區間(0,1)上是增函數，在區間(1，＋∞)上是減函數．
f(x)_max＝f(1)＝－1.
(2)由(1)知當a＝－1時，
f(x)_max＝f(1)＝－1，∴|f(x)|≥1.
令g(x)＝＋，則g′(x)＝，
令g′(x)＝0，得x＝e，
當0<x<e時，g′(x)>0，g(x)在區間(0，e)上單調遞增；
當x>e時，g′(x)<0，g(x)在區間(e，＋∞)上單調遞減．
∴g(x)_max＝g(e)＝＋<1，
∴g(x)<1.∴|f(x)|>g(x)恒成立，
即|f(x)|>＋恒成立．
∴方程|f(x)|＝＋沒有實數解．