Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，，是曲線段：（是參數(shù)，）的左、右端點(diǎn)，是上異于，的動點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為.

（1）建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程；

（2）求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根據(jù)的參數(shù)方程可得直角坐標(biāo)方程,求出端點(diǎn),,求在處的切線斜率為和與軸的交點(diǎn)坐標(biāo),由垂直關(guān)系得的軌跡是以線段為直徑的圓弧（不含端點(diǎn)）,由此建立極坐標(biāo)系,得出極坐標(biāo)方程.

（2）設(shè)直線與以為圓心,為半徑的圓交于兩點(diǎn),,則根據(jù)半徑相等,由相交弦定理,得,代入,即可得出最大值.

解：（1）如圖,曲線段即為拋物線上一段,

端點(diǎn),,

在處的切線斜率為,與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為.

因?yàn)?/span>,所以的軌跡是以線段為直徑的圓弧（不含端點(diǎn)）,

以線段的中點(diǎn)為極點(diǎn),射線為極軸,建立極坐標(biāo)系,

則點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程為.

（2）設(shè)直線與以為圓心,為半徑的圓交于兩點(diǎn),,

則,

由相交弦定理,得

,

當(dāng),即時,最大,最大值為.