Question

（1）已知函數f（x）=

x-7

(a-1)x2+4 a-1 •x+5

的定義域為R，求實數a的取值范圍；
（2）不等式x-1＜2mx+3-m對于滿足0≤m≤2的一切實數m都成立，求x的取值范圍；
（3）設∫：A→B是從集合A到集合B的映射，在∫的作用下集合A中元素（x，y）與集合B元素（2x-1，4-y）對應，求與B中元素（0，1）對應的A中元素．

Answer 1

分析：（1）函數的定義域為R，說明對所有的實數x分母不等于0恒成立，然后分二次項系數等于0和不等于0進行討論，當二次項系數不等于0時，同時滿足根式有意義，可知二次項系數必大于0；
（2）通過把不等式變形，化為關于m的一次不等式，然后由一次函數在[0，2]上的值大于0列式計算；
（3）直接由

2x-1=0 4-y=1

求解x，y的值，則答案可求．

解答：解：（1）∵f（x）的定義域為R，
∴（a-1）x²+4

a-1

x+5≠0在R上恒成立．
①a-1=0時，即a=1時，5≠0恒成立；
②a-1≠0時，則

a-1＞0 16(a-1)-20(a-1)＜0

?

a-1＞0 -4(a-1)＜0

?a＞1；
由①②得a≥1；
（ 2 ）x-1＜2mx+3-m
?（2x-1）m+4-x＞0．
令g（m）=（2x-1）m+4-x．
知g（m）是關于m的線性函數，只需

g(0)=4-x＞0 g(2)=2(2x-1)+4-x＞0

?

x＜4 x＞- 2 3

?-

2

3

＜x＜4
∴x的取值范圍為（-

2

3

，4）；
（3）由題意知

2x-1=0 4-y=1

，解得

x= 1 2 y=3

．
∴A中元素為（

1

2

，3）．

點評：本題考查了映射的概念，考查了更換主元的思想方法，訓練了利用分類討論的數學思想方法求函數的定義域，是中檔題．