Question

給出下列四個命題：
（1）已知函數f（x）=

1 2 x2   x≤2 log2(x+a)  x＞2

在定義域內是連續函數，數列{a_n}通項公式為a_n=

1

an

，則數列{a_n}的所有項之和為1．
（2）過點P（3，3）與曲線（x-2）²-

(y-1)2

4

=1有唯一公共點的直線有且只有兩條．
（3）向量

a

=(x2，x+1)，

b

=(1-x，t)，若函數f（x）=

a

•

b

在區間[-1，1]上是增函數，則實數t的取值范圍是（5，+∞）；
（4）我們定義非空集合A的真子集的真子集為A的“孫集”，則集合{2，4，6，8，10}的“孫集”有26個．
其中正確的命題有

（1）（2）（4）

（填序號）

Answer 1

分析：（1）先求出a的值，再計算數列{a_n}的所有項之和；
（2）分別考慮所求直線的情況有①直線的斜率不存在②與漸近線平行，即可得到結論；
（3）計算出數量積，再分離參數求最值，即可得到結論；
（4）先算出集合{2，4，6，8，10}的真子集有：φ，{2}，{4}，{6}，{8}，{10}，{2，4}，…，{4，6，8，10}．再計算它們的真子集個數即可．

解答：解：（1）∵函數f（x）=

1 2 x2   x≤2 log2(x+a)  x＞2

在定義域內是連續函數，∴

1

2

×22=log2(2+a)，∴a=2
∴a_n=

1

2n

，∴數列{a_n}的所有項之和為

1 2

1- 1 2

=1，即（1）正確；
（2）曲線的右頂點為（3，1），故直線x=3與雙曲線只有一個公共點，過點P （3，3）平行于漸近線時，直線L與雙曲線只有一個公共點，有2條，所以，過P（3，3）的直線L與雙曲線只有一個公共點，這樣的直線共有3條，即（2）不正確；
（3）f（x）=

a

•

b

=-x³+x²+tx+t，∴f′（x）=-3x²+2x+t
∵函數f（x）=

a

•

b

在區間[-1，1]上是增函數，∴-3x²+2x+t≥0在區間[-1，1]上恒成立
∴t≥3x²-2x在區間[-1，1]上恒成立，∴t≥3+2=5，∴實數t的取值范圍是[5，+∞），即（3）不正確；
（4）集合{2，4，6，8，10}的真子集為∅，{2}，{4}，{6}，{8}，{10}，{2，4}，…，{4，6，8，10}．它們的真子集個數共26個，故正確．
故答案為：（1）（4）

點評：本小題主要考查子集與真子集、等比數列的性質、平面向量的坐標運算等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．