Question

（1）已知函數f（x）=lg（1+x）+lg（1-x）．①求函數f（x）的定義域．②判斷函數的奇偶性，并給予證明．
（2）已知函數f（x）=a^x+3，（a＞0且a≠1），求函數f（x）在[0，2]上的值域．

Answer 1

分析：（1）利用對數函數的形式分別判斷．（2）討論a的取值范圍，利用指數函數的單調性求值域．

解答：解：（1）要使函數f（x）有意義，則

1+x＞0 1-x＞0

⇒

x＞-1 x＜1

，所以-1＜x＜1，即函數的定義域為（-1，1），關于原點對稱．
又f（-x）=lg（1-x）+lg（1+x）=f（x），所以函數f（x）為偶函數．
（2）若a＞1，則函數f（x）在[0，2]上單調遞增，所以1+3≤f（x）≤a²+3，即函數的值域為[4，a³+3]．
若0＜a＜1，則函數f（x）在[0，2]上單調遞減，所以a²+3≤f（x）≤4，即函數的值域為[a³+3，4]．

點評：本題主要考查對數和指數函數的圖象和性質，要注意對底數a進行分類討論．