Question

【題目】如圖，四棱錐的底面是直角梯形，， ，是的中點，.

（Ⅰ）證明：⊥平面；

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）線段上是否存在一點，使得直線平面. 若存在，確定點的位置；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見證明；（Ⅱ）；（Ⅲ）見解析

【解析】

（I）依題意易得兩兩垂直，以為原點建立空間直角坐標系．通過,證得平面.（II）通過計算平面和平面的法向量，由此計算出面面角的余弦值，進而求得二面角的大小.（III）設出的坐標，利用直線的方向向量和平面的法向量垂直，求出關于點坐標的參數，由此判斷出點的位置.

（Ⅰ）因為 平面.

所以，，又.

如圖，以為原點建立空間直角坐標系．

由題意得

所以,,.

所以,,

所以,,

所以平面.

（Ⅱ）設平面的法向量為，

因為.

所以，即，

令，則.

于是.

因為⊥平面，所以為平面的法向量，

又.

所以.

因為所求二面角為鈍角，所以二面角大小為.

（Ⅲ）解：設，

，

，.

設平面的法向量，

則，即 ，

令，，. 于是，

如果直線平面，

那么，解得 .

所以，存在點為線段靠近點的三等分點，使得直線平面.