Question

【題目】已知函數

（1）求在上的最小值；

（2）若關于的不等式有且只有三個整數解，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）求出函數的導數，通過討論m的范圍，求出函數的單調區間，從而求出函數f（x）在閉區間上的最小值即可；

（2）根據f（x）的單調性，通過討論n的符號，解關于f（x）的不等式結合不等式解的個數，求出n的范圍即可．

解：（1），令，得的遞增區間為；令，得的遞減區間為

，則當時，在上為增函數，的最小值為；

當時，在上為增函數，在上為減函數，又，

若，的最小值，若，的最小值為，

綜上，當時，的最小值為；若，的最小值為

（2）由（1）知，的遞增區間為，遞減區間為，且在上，，又，則，又時，由不等式得或，而的解集為，整數解有無數多個，不合題意；

時，由不等式，得，解集為，整數解有無數多個，不合題意；

時由不等式，得或，的解集為無整數解，若不等式有且只有三個整數解，在遞增，在遞減，而，而，所以，三個正整數1，2，3，而，綜上，實數的取值范圍是.