Question

【題目】某港灣的平面示意圖如圖所示，、、分別是海岸線、上的三個集鎮，位于的正南方向處，位于的北偏東方向處.隨著經濟的發展，為緩解集鎮的交通壓力，擬在海岸線、上分別修建碼頭、，開辟水上航線，勘測時發現：以為圓心，為半徑的扇形區域為淺水區，不適宜船只航行.

（1）能否求出集鎮、間的直線距離？

（2）根據勘測要求，要使、之間的直線航線最短，直線與圓應滿足什么關系？

（3）應怎樣確定碼頭、的位置，才能使得、之間的直線航線最短？

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線與圓應該相切；（3）碼頭、與集鎮的距離均為時，、之間的直線航線最短.

【解析】

（1）在中，利用余弦定理可求出的長度；

（2）要使、之間的直線航線最短，又使得航線不能經過淺水區，進而可得知直線與圓的位置關系；

（3）設直線與圓相切于點，連接，設，，，根據的面積得到等式，然后利用余弦定理結合基本不等式求出的最小值，利用等號成立的條件求出、，進而可得出結論.

（1）在中，，，，

根據余弦定理得，所以，故集鎮、間的直線距離為；

（2）要使、之間的直線航線最短，又使得航線不能經過淺水區，則直線與圓應該相切；

（3）設直線與圓相切于點，連接，則.

設，，，

在中，由，

得，即，

由余弦定理，得，

所以，解得，

當且僅當時，取得最小值，

所以碼頭、與集鎮的距離均為時，、之間的直線航線最短，最短距離為.