Question

設F₁，F₂分別是橢圓D：的左、右焦點，過F₂作傾斜角為的直線交橢圓D于A，B兩點，F₁到直線AB的距離為3，連接橢圓D的四個頂點得到的菱形面積為4．
（Ⅰ）求橢圓D的方程；
（Ⅱ）過橢圓D的左頂點P作直線l₁交橢圓D于另一點Q．
（ⅰ）若點N（0，t）是線段PQ垂直平分線上的一點，且滿足，求實數t的值；
（ⅱ）過P作垂直于l₁的直線l₂交橢圓D于另一點G，當直線l₁的斜率變化時，直線GQ是否過x軸上的一定點，若過定點，請給出證明，并求出該定點坐標；若不過定點，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設出AB的方程，利用F₁到直線AB的距離為3，可求得c的值，利用a²-b²=c²=3，連接橢圓D的四個頂點得到的菱形面積為4，即可求得橢圓D的方程；
（Ⅱ）設直線l₁的方程代入橢圓D的方程，消去y，整理得一元二次方程，由韋達定理，可求得線段PQ的中點坐標；（ⅰ）當k=0時，則有Q（2，0），線段PQ垂直平分線為y軸，利用，可求t的值；當k≠0時，求出線段PQ垂直平分線的方程，令x=0，得：，利用，可求t的值；
（ⅱ）設直線l₂的方程與橢圓方程聯立，確定Q的坐標，從而可求GQ的直線方程，令y=0，即可得到結論．
解答：解：（Ⅰ）設F₁，F₂的坐標分別為（-c，0），（c，0），其中c＞0
由題意得AB的方程為：
因F₁到直線AB的距離為3，所以有，解得…（1分）
所以有a²-b²=c²=3…①
由題意知：，即ab=2…②
聯立①②解得：a=2，b=1
∴所求橢圓D的方程為…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：P（-2，0），設Q（x₁，y₁）
根據題意可知直線l₁的斜率存在，可設直線斜率為k，則直線l₁的方程為y=k（x+2）
把它代入橢圓D的方程，消去y，整理得：（1+4k²）x²+16k²x+（16k²-4）=0
由韋達定理得，則，
∴y₁=k（x₁+2）=，∴，
∴線段PQ的中點坐標為，…（6分）
（ⅰ）當k=0時，則有Q（2，0），線段PQ垂直平分線為y軸，于是
由，解得：…（8分）
當k≠0時，則線段PQ垂直平分線的方程為y-
因為點N（0，t）是線段PQ垂直平分線的一點，
令x=0，得：，于是
由，解得：
代入，解得：
綜上，滿足條件的實數t的值為或…（10分）
（ⅱ）設G（x₂，y₂），由題意知l₁的斜率k≠0，直線l₂的斜率為，則
由化簡得：（k²+4）x²+16x+16-4k²=0．
∵此方程有一根為-2，得⇒．…（12分）
∵，則
所以GQ的直線方程為
令y=0，則．
所以直線GQ過x軸上的一定點…（14分）
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查學生分析解決問題的能力，綜合性強．