Question

設有兩個命題：P：指數函數y=（c²-5c+7）^x在R上單調遞增；Q：不等式|x-1|+|x-2c|＞1的解集為R，如果P和Q有且僅有一個正確，求c的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：由指數函數y=（c²-5c+7）^x在R上單調遞增，知c²-5c+7＞1，解得P：c＜2或c＞3；由不等式|x-1|+|x-2c|＞1的解集為R，得|2c-1|＞1，解得Q：c＜0或c＞1．于是^¬P：2≤c≤3，^¬Q：0≤c≤1．由此能求出c的取值范圍．
解答：解：∵指數函數y=（c²-5c+7）^x在R上單調遞增，
∴c²-5c+7＞1，
解得c＜2或c＞3，
即P：c＜2或c＞3 …．（3分）
∵不等式|x-1|+|x-2c|＞1的解集為R，
∴|2c-1|＞1，
解得c＜0或c＞1，
即Q：c＜0或c＞1 …（6分）
于是^¬P：2≤c≤3，^¬Q：0≤c≤1…．（8分）
若P正確且Q不正確，則c∈[0，1]…（10分）
若P不正確且Q正確，則c∈[2，3]
所以c的取值范圍是[0，1]∪[2，3]…（12分）
點評：本題考查命題的真假判斷及其應用，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．