Question

設有兩個命題，p：關于x的不等式a^x＞1（a＞0，a≠1）的解集是{x|x＜0}；q：函數y=lg（x²-x+a）的定義域為R，如果p∨q為真命題，為p∧q假命題，求實數a的范圍．

Answer 1

分析：根據指數函數的圖象和性質，可得x的不等式a^x＞1（a＞0，a≠1）的解集是{x|x＜0}時，實數a的范圍；根據對數函數的圖象和性質，及二次不等式恒成立問題，可得函數y=lg（x²-x+a）的定義域為R時，實數a的范圍；再由復合命題真假判斷的真值表，可得命題p、q一真一假，分類討論后，綜合討論結果，可得答案．

解答：解：p為真命題時，不等式a^x＞1（a＞0，a≠1）的解集是{x|x＜0}；
則0＜a＜1，
q為真命題時，函數y=lg（x²-x+a）的定義域為R，
x²-x+a＞0恒成立
則△=1-4a＜0
解得a＞

1

4

（10分）
因為p∨q為真命題，p∧q為假命題，所以命題p、q一真一假
當p真q假時，0＜a≤

1

4

當p假q真時，a≥1
綜上實數a的范圍為(0，

1

4

]∪[1，+∞)

點評：本題以復合命題的真假判斷為載體考查了指數函數和對數函數的圖象和性質，熟練掌握指數函數和對數函數的圖象和性質，求出命題p、q為真時，實數a的范圍，是解答的關鍵．