Question

設有兩個命題：p：不等式(

1

2

)x+4＞m＞2x-x²對一切實數x恒成立；q：f（x）=-（9-2m）^x是R上的減函數，如果p且q為假命題，則實數m的取值范圍是

（-∞，1]∪[4，+∞）

．

Answer 1

分析：分別求出命題p，q成立的等價條件，先求出p且q為真命題的取值范圍，然后確定實數m的取值范圍．

解答：解：∵(

1

2

)x+4＞4，2x-x²=-（x-1）²+1≤1，
要使不等式(

1

2

)x+4＞m＞2x-x²對一切實數x恒成立，
則1＜m＜4，即p：-1＜m＜4．
若方f（x）=-（9-2m）^x是R上的減函數，
則9-2m＞1，即2m＜8，解得m＜4，即q：m＜4．
要使p且q為真，則

-1＜m＜4 m＜4

，解得-1＜m＜4．
所以當p且q為假命題時，解得m≥4或m≤-1．
即實數a的取值范圍是（-∞，1]∪[4，+∞）．
故答案為：（-∞，1]∪[4，+∞）．

點評：本題主要考查復合命題與簡單命題之間的關系，利用條件先求出p，q成立的等價條件是解決此類問題的關鍵．