Question

【題目】如圖，O為坐標原點，點F為拋物線C1：的焦點，且拋物線C1上點P處的切線與圓C2：相切于點Q．

（Ⅰ）當直線PQ的方程為時，求 拋物線C1的方程；

（Ⅱ）當正數P變化時，記S1 ，S2分別為△FPQ，△FOQ的面積，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）x2=4y．（2）.

【解析】

試題解析：（Ⅰ）設點P（x0，），由x2=2py（p＞0）得，y=，求導y′=，

因為直線PQ的斜率為1，所以=1且x0 --√2=0，解得p=2，

所以拋物線C1 的方程為x2=4y．

（Ⅱ）因為點P處的切線方程為：y-=（x-x0），即2x0x-2py-x02=0，

∴ OQ的方程為y=-x

根據切線與圓切，得d=r，即，化簡得x04=4x02+4p2，

由方程組，解得Q（，），

所以|PQ|=√1+k2|xP-xQ|=

點F（0，）到切線PQ的距離是d=，

所以S1==，

S2=，

而由x04=4x02+4p2知，4p2=x04-4x02＞0，得|x0|＞2，

所以

=

=+3≥2+3，當且僅當時取“=”號，

即x02=4+2，此時，p=．

所以的最小值為2+3．