Question

【題目】如圖，已知拋物線：，過(guò)焦點(diǎn)斜率大于零的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，且與其準(zhǔn)線交于點(diǎn)．

（1）若線段的長(zhǎng)為，求直線的方程；

（2）在上是否存在點(diǎn)，使得對(duì)任意直線，直線，，的斜率始終成等差數(shù)列，若存在求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在點(diǎn)或，使得對(duì)任意直線，直線，，的斜率始終成等差數(shù)列．

【解析】

試題分析：（1）設(shè)出直線方程與拋物線聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式進(jìn)行求解；（2）假設(shè)存在點(diǎn)，利用等差中項(xiàng)和恒成立判定是否有解.

試題解析：（1）焦點(diǎn)∵直線的斜率不為，所以設(shè)，， 由得，，，，，

∴， ∴． ∴直線的斜率，∵，∴， ∴直線的方程為．

（2）設(shè)，，同理，，

∵直線，，的斜率始終成等差數(shù)列，∴恒成立，即恒成立．∴，把，代入上式，得恒成立，．∴存在點(diǎn)或，使得對(duì)任意直線，直線，，的斜率始終成等差數(shù)列．