Question

（2012•溫州一模）如圖，在三棱錐A-BCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，AC=6

3

，BC=CD=6，設頂點A在底面BCD上的射影為E．
（Ⅰ）求證：CE⊥BD；
（Ⅱ）設點G在棱AC上，且CG=2GA，試求二面角C-EG-D的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由E是頂點A在底面BCD上的射影，得到AE垂直于底面，所以AE⊥CD，結合已知可證得CD垂直于平面AED，則CD⊥ED，同理得到BC⊥BE，再利用邊的關系得到BCDE為正方形，則問題得證；
（Ⅱ）以E為坐標原點，EB，ED，EA所在直線分別為x，y，z軸建立空間坐標系，結合EC=6

2

，AE=6

3

標出點的坐標，利用平面法向量求二面角的余弦值．

解答：（I）證明：如圖，
因為頂點A在底面BCD上的射影為E，所以AE⊥平面BCD，則AE⊥CD，
又AD⊥CD，且AE∩AD=A，則CD⊥平面AED，
又DE?平面AED，故CD⊥DE，
同理可得CB⊥BE，則四邊形BCDE為矩形，又BC=CD，
則四邊形BCDE為正方形，故CE⊥BD．
（II）解：由（I）知BCDE為正方形，
以E為坐標原點，EB，ED，EA所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示坐標系，
則E（0，0，0），D（0，6，0），B（6，0，0），C（6，6，0），
在直角三角形AEC中，因為EC=6

2

，AC=6

3

，所以EA=

(6 3 )2-(6 2 )2

=6．
又CG=2GA，所以A（0，0，6），G（2，2，4），
則

ED

=(0，6，0)，

EG

=(2，2，4)，易知平面CEG的一個法向量為

BD

=(-6，6，0)，
設平面DEG的一個法向量為

n

=(x，y，1)，
則由

n • ED =0 n • EG =0

，得

6y=0 2x+2y+4=0

，所以x=-2．則

n

=(-2，0，1)，
則cos＜

BD

，

n

＞=

BD • n

| BD || n |

=

10

5

，即二面角C-EG-D的余弦值為

10

5

．

點評：本題考查了直線和平面垂直的性質，考查了利用空間向量求二面角的大小，考查了學生的空間想象能力和思維能力，建立坐標系時一定要注意符合右手系，是中檔題．